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Tema 2: Sistemas de Numeración

🎯 Objetivos de Aprendizaje​

Al finalizar este tema, serás capaz de:

  • Comprender el funcionamiento del sistema binario y hexadecimal
  • Convertir números entre sistemas decimal, binario y hexadecimal
  • Realizar operaciones aritméticas básicas en binario
  • Aplicar estos conocimientos al diseño de circuitos digitales

1. ¿Por Qué Diferentes Sistemas de Numeración?​

En electrónica digital trabajamos con dos estados (encendido/apagado, alto/bajo), por eso el sistema binario (base 2) es el lenguaje natural de los circuitos digitales.

El sistema hexadecimal (base 16) se usa como "atajo" para representar grandes números binarios de forma más compacta.

2. Sistema Decimal (Base 10)​

Es el sistema que usamos habitualmente. Tiene 10 símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

2.1. Valor Posicional​

Cada posición representa una potencia de 10:

32510=3×102+2×101+5×100=300+20+5325_{10} = 3 \times 10^2 + 2 \times 10^1 + 5 \times 10^0 = 300 + 20 + 5

3. Sistema Binario (Base 2)​

Solo tiene 2 símbolos: 0 y 1 (llamados bits).

3.1. Valor Posicional en Binario​

Cada posición representa una potencia de 2:

Posición76543210
Potencia272^7262^6252^5242^4232^3222^2212^1202^0
Valor1286432168421

Ejemplo:​

101101012=1×128+0×64+1×32+1×16+0×8+1×4+0×2+1×110110101_2 = 1\times128 + 0\times64 + 1\times32 + 1\times16 + 0\times8 + 1\times4 + 0\times2 + 1\times1 =128+32+16+4+1=18110= 128 + 32 + 16 + 4 + 1 = 181_{10}

3.2. Conversión: Decimal → Binario​

Método de las divisiones sucesivas:

Convertir 251025_{10} a binario:

25 ÷ 2 = 12  resto 1  ↑ (LSB - bit menos significativo)
12 ÷ 2 = 6   resto 0  │
6  ÷ 2 = 3   resto 0  │
3  ÷ 2 = 1   resto 1  │
1  ÷ 2 = 0   resto 1  ↓ (MSB - bit más significativo)

Resultado: 25₁₀ = 11001₂

Comprobación: 16+8+1=2516 + 8 + 1 = 25 ✓

3.3. Conversión: Binario → Decimal​

Multiplica cada bit por su peso (potencia de 2) y suma:

11012=1×8+1×4+0×2+1×1=8+4+1=13101101_2 = 1\times8 + 1\times4 + 0\times2 + 1\times1 = 8 + 4 + 1 = 13_{10}

4. Sistema Hexadecimal (Base 16)​

Tiene 16 símbolos: 0-9 y A-F (donde A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15).

4.1. ¿Por Qué Hexadecimal?​

Porque 4 bits = 1 dígito hexadecimal, lo que hace muy sencilla la conversión:

BinarioHexadecimalDecimal
000000
000111
001022
001133
010044
010155
011066
011177
100088
100199
1010A10
1011B11
1100C12
1101D13
1110E14
1111F15

4.2. Conversión: Binario ↔ Hexadecimal​

Binario → Hexadecimal:​

Agrupa de 4 en 4 bits (empezando por la derecha) y convierte cada grupo:

Binario:  11010110₂
Grupos:   1101  0110
Hex:        D     6

Resultado: 11010110₂ = D6₁₆

Hexadecimal → Binario:​

Convierte cada dígito hex a 4 bits:

3A₁₆
3 = 0011
A = 1010

Resultado: 3A₁₆ = 00111010₂

4.3. Conversión: Hexadecimal ↔ Decimal​

Hexadecimal → Decimal:​

2F16=2×161+F×160=2×16+15×1=32+15=47102F_{16} = 2 \times 16^1 + F \times 16^0 = 2 \times 16 + 15 \times 1 = 32 + 15 = 47_{10}

Decimal → Hexadecimal:​

Divisiones sucesivas entre 16:

255 ÷ 16 = 15  resto 15 (F)  ↑
15  ÷ 16 = 0   resto 15 (F)  ↓

Resultado: 255₁₀ = FF₁₆

5. Operaciones Aritméticas en Binario​

5.1. Suma Binaria​

Reglas básicas:

  • 0 + 0 = 0
  • 0 + 1 = 1
  • 1 + 0 = 1
  • 1 + 1 = 10 (0 y me llevo 1)

Ejemplo:​

    1011₂  (11₁₀)
  +  110₂  ( 6₁₀)
  -------
   10001₂  (17₁₀)
  
   ¹¹      (acarreos)

5.2. Resta Binaria​

Reglas básicas:

  • 0 - 0 = 0
  • 1 - 0 = 1
  • 1 - 1 = 0
  • 0 - 1 = 1 (y pido prestado 1)

Ejemplo:​

   1101₂  (13₁₀)
  - 101₂  ( 5₁₀)
  ------
   1000₂  ( 8₁₀)

6. Aplicaciones en Electrónica Digital​

6.1. Direcciones de Memoria​

Los microprocesadores usan direcciones hexadecimales:

  • Arduino Uno: memoria RAM de 0x0000 a 0x08FF
  • El prefijo 0x indica hexadecimal

6.2. Códigos de Color RGB​

Los colores en pantallas se representan en hexadecimal:

  • Rojo puro: #FF0000 = (255, 0, 0)
  • Verde: #00FF00
  • Azul: #0000FF
  • Blanco: #FFFFFF = (255, 255, 255)

6.3. Puertos de E/S​

Si un puerto de 8 bits (1 byte) tiene el valor 10110010₂:

  • En binario: 10110010
  • En hexadecimal: B2 (más compacto)
  • En decimal: 178

7. Tabla Resumen de Conversiones​

DecimalBinarioHexadecimal
000000
501015
101010A
151111F
160001000010
25511111111FF

📝 Actividades​

Actividad 1: Conversión Decimal → Binario​

Convierte a binario: 42, 100, 127, 200

Actividad 2: Conversión Binario → Decimal​

Convierte a decimal: 11001, 10101010, 11111111

Actividad 3: Conversión Binario ↔ Hexadecimal​

  1. Binario → Hex: 11010110, 10011111
  2. Hex → Binario: 3F, A5, FF

Actividad 4: Suma Binaria​

Resuelve:

  1. 1010₂ + 0111₂
  2. 1101₂ + 1011₂

Actividad 5: Aplicación Práctica​

Un LED RGB se controla con 3 bytes (8 bits cada uno) para R, G, B. Si queremos un color naranja #FF6600:

  1. Convierte cada valor a binario
  2. ¿Cuántos bits en total necesitas?

❓ Preguntas de Repaso​

  1. ¿Cuántos símbolos tiene el sistema binario?
  2. ¿Cuál es el equivalente decimal de 1111₂?
  3. ¿Por qué se usa el sistema hexadecimal en informática?
  4. Convierte 10101010₂ a hexadecimal sin pasar por decimal.
  5. ¿Cuántos bits se necesitan para representar 256 valores diferentes?

🔗 Recursos Adicionales​