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Tema 3: Álgebra de Boole

🎯 Objetivos de Aprendizaje​

Al finalizar este tema, serás capaz de:

  • Comprender los fundamentos del álgebra de Boole
  • Aplicar las operaciones lógicas básicas (AND, OR, NOT)
  • Utilizar las leyes y teoremas fundamentales para simplificar expresiones
  • Traducir problemas lógicos a expresiones booleanas

1. ¿Qué es el Álgebra de Boole?​

Es un sistema matemático creado por George Boole (1854) que trabaja con variables que solo pueden tomar dos valores:

  • VERDADERO / FALSO
  • 1 / 0
  • ALTO / BAJO
  • SÍ / NO

Es la base matemática de toda la electrónica digital y la informática.

2. Variables y Funciones Lógicas​

2.1. Variables Booleanas​

Se representan con letras mayúsculas: AA, BB, CC, etc.

Ejemplo:

  • A=1A = 1 → El interruptor A está cerrado
  • A=0A = 0 → El interruptor A está abierto

2.2. Funciones Lógicas​

Una función lógica FF relaciona una o más variables de entrada con una salida:

F=f(A,B,C,...)F = f(A, B, C, ...)

Ejemplo: F=A⋅BF = A \cdot B significa que FF vale 1 solo si AA y BB valen 1.

3. Operaciones Lógicas Básicas​

3.1. Operación NOT (Negación)​

Símbolo: A‾\overline{A} o A′A' o ¬A\neg A

Definición: Invierte el valor de la variable.

Tabla de verdad:

AAA‾\overline{A}
01
10

Ejemplo: Si AA = "está lloviendo", entonces A‾\overline{A} = "NO está lloviendo"

3.2. Operación AND (Producto Lógico)​

Símbolo: A⋅BA \cdot B o A∧BA \land B o ABAB

Definición: Vale 1 solo si todas las entradas valen 1.

Tabla de verdad:

AABBA⋅BA \cdot B
000
010
100
111

Analogía eléctrica: Dos interruptores en serie:

  ─[A]─[B]─   → Solo pasa corriente si A Y B están cerrados

Ejemplo: "Para encender el ordenador, debe haber corriente (A=1) Y el botón estar pulsado (B=1)"

3.3. Operación OR (Suma Lógica)​

Símbolo: A+BA + B o A∨BA \lor B

Definición: Vale 1 si al menos una entrada vale 1.

Tabla de verdad:

AABBA+BA + B
000
011
101
111

Analogía eléctrica: Dos interruptores en paralelo:

     ┌─[A]─┐
  ───┤     ├───   → Pasa corriente si A O B están cerrados
     └─[B]─┘

Ejemplo: "La alarma suena si detecta humo (A=1) O si detecta movimiento (B=1)"

4. Propiedades Fundamentales​

4.1. Identidad​

A⋅1=AA+0=AA \cdot 1 = A \quad \quad A + 0 = A

4.2. Elemento Absorbente (Dominante)​

A⋅0=0A+1=1A \cdot 0 = 0 \quad \quad A + 1 = 1

4.3. Idempotencia​

A⋅A=AA+A=AA \cdot A = A \quad \quad A + A = A

4.4. Complementariedad​

A⋅A‾=0A+A‾=1A \cdot \overline{A} = 0 \quad \quad A + \overline{A} = 1

4.5. Doble Negación​

A‾‾=A\overline{\overline{A}} = A

5. Leyes Fundamentales​

5.1. Conmutativa​

A⋅B=B⋅AA+B=B+AA \cdot B = B \cdot A \quad \quad A + B = B + A

El orden de los factores no altera el resultado.

5.2. Asociativa​

(A⋅B)⋅C=A⋅(B⋅C)(A+B)+C=A+(B+C)(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C) \quad \quad (A + B) + C = A + (B + C)

Permite agrupar las operaciones como queramos.

5.3. Distributiva​

A⋅(B+C)=A⋅B+A⋅CA \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C

El producto se distribuye sobre la suma (igual que en álgebra normal).

Ejemplo práctico:

A(B+C)=AB+ACA(B + C) = AB + AC

6. Teoremas de De Morgan​

Son fundamentales para simplificar circuitos. Permiten convertir productos en sumas y viceversa:

Primer Teorema:​

A⋅B‾=A‾+B‾\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}

"La negación de un producto es la suma de las negaciones"

Segundo Teorema:​

A+B‾=A‾⋅B‾\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}

"La negación de una suma es el producto de las negaciones"

Ejemplo de Aplicación:​

Simplificar: A⋅B⋅C‾\overline{A \cdot B \cdot C}

Aplicando De Morgan:

A⋅B⋅C‾=A‾+B‾+C‾\overline{A \cdot B \cdot C} = \overline{A} + \overline{B} + \overline{C}

7. Simplificación de Expresiones​

Ejemplo 1: Usar Idempotencia​

F=A+A+B=A+BF = A + A + B = A + B

Ejemplo 2: Usar Absorción​

F=A+A⋅B=A(porque si A=1, F=1 independientemente de B)F = A + A \cdot B = A \quad \text{(porque si } A=1 \text{, } F=1 \text{ independientemente de } B\text{)}

Ejemplo 3: Usar Complementariedad​

F=A⋅B+A⋅B‾=A(B+B‾)=A⋅1=AF = A \cdot B + A \cdot \overline{B} = A(B + \overline{B}) = A \cdot 1 = A

Ejemplo 4: Usar De Morgan​

F=A+B‾⇒F=A‾⋅B‾F = \overline{A + B} \quad \Rightarrow \quad F = \overline{A} \cdot \overline{B}

8. Aplicación: Problemas Verbales​

Problema 1: Sistema de Seguridad​

Una puerta se abre si:

  • Hay tarjeta válida (A=1) Y el PIN es correcto (B=1)
  • O si hay emergencia (C=1)

Expresión booleana:

F=A⋅B+CF = A \cdot B + C

Problema 2: Control de Riego​

El riego se activa si:

  • El sensor de humedad indica seco (H=0)
  • Y NO está lloviendo (L=0)
  • Y es de día (D=1)

Expresión booleana:

F=H‾⋅L‾⋅DF = \overline{H} \cdot \overline{L} \cdot D

📝 Actividades​

Actividad 1: Completar Tablas de Verdad​

Completa las tablas para:

  1. F=A⋅B‾F = A \cdot \overline{B}
  2. F=A‾+BF = \overline{A} + B
  3. F=A⋅B+B‾F = A \cdot B + \overline{B}

Actividad 2: Simplificación Algebraica​

Simplifica usando las leyes de Boole:

  1. F=A⋅0+BF = A \cdot 0 + B
  2. F=A+A⋅BF = A + A \cdot B
  3. F=(A+B)(A+B‾)F = (A + B)(A + \overline{B})
  4. F=A⋅B‾⋅A+B‾F = \overline{A \cdot B} \cdot \overline{A + B}

Actividad 3: Aplicación Práctica​

Un sistema de calefacción se enciende si:

  • La temperatura es baja (T=1)
  • Y hay alguien en casa (P=1)
  • O si hay riesgo de helada (H=1)
  1. Escribe la expresión booleana
  2. Crea la tabla de verdad

Actividad 4: De Morgan​

Aplica De Morgan para transformar:

  1. A+B+C‾\overline{A + B + C}
  2. (A⋅B)+C‾\overline{(A \cdot B) + C}

❓ Preguntas de Repaso​

  1. ¿Cuál es el resultado de 1⋅01 \cdot 0?
  2. ¿Cuál es el resultado de 1+01 + 0?
  3. ¿Qué dice la ley de idempotencia para la suma?
  4. Enuncia el primer teorema de De Morgan.
  5. Si A=1A=1 y B=0B=0, ¿cuánto vale A‾+B\overline{A} + B?

🔗 Recursos Adicionales​